Efekty uczenia się: |
Efekty kształcenia w ramach realizacji przedmiotu:
Zna podstawowe pojęcia oraz metody topologii ogólnej rozszerzone o wybrane zagadnienia teorii przestrzeni metrycznych i dowiaduje się jak są one wykorzystywane w rachunku różniczkowym i całkowym. - egzamin pisemny/ustny;
Rozpoznaje i określa najważniejsze własności topologiczne podzbiorów przestrzeni euklidesowej i przestrzeni metrycznych. - egzamin pisemny/ustny;
Umie wykorzystywać własności topologiczne zbiorów i funkcji do rozwiązywania zadań o charakterze jakościowym. - egzamin pisemny/ustny;
|
Zakres tematów: |
Treść zajęć:
Pojęcie ogólnej przestrzeni topologicznej (zbiory otwarte i domknięte, podprzestrzeń topologiczna, operacje wnętrza i domknięcia, zbieżność ciągów, aksjomaty oddzielania). Sposoby określania topologii (przestrzenie metryzowalne, baza i podbaza, iloczyn kartezjański przestrzeni topologicznych, topologia ilorazowa, najsłabsza topologia zawierająca daną rodzinę zbiorów). Aksjomaty przeliczalności (I aksjomat przeliczalności, ośrodkowość). Przekształcenia ciągłe (określenie ciągłości i podstawowe własności przekształceń ciągłych, homeomorfizmy, najsłabsze i najmocniejsze topologie, względem których dane przekształcenia są ciągłe). Zwartość (definicja i własności zbiorów zwartych, odwzorowania ciągłe na zbiorach zwartych, twierdzenie Cantora, twierdzenie Tichonowa o zwartości produktu kartezjańskiego). Wybrane własności przestrzeni metrycznych (całkowita ograniczoność, zupełność, twierdzenie Banacha o odwzorowaniu zwężającym, twierdzenie Baire’a, zwartość ciągowa i pokryciowa). Spójność (definicja i własności zbiorów spójnych, kryteria spójności, składowe spójności, własność Darboux, łukowa spójność, lokalna spójność). Normalność (definicja i podstawowe własności przestrzeni normalnej, lemat Urysohna, twierdzenie Tizego, twierdzenie Urysohna o metryzacji).
|
Metody dydaktyczne: |
Metody dydaktyczne: wykłady, konsultacje, praca nad literaturą, rozwiązywanie zadań domowych, dyskusje w grupach problemowych.
|