1. Wprowadzenie do teorii równań różniczkowych
zwyczajnych: Podstawowe pojęcia, Interpretacja geometryczna rozwiązania, Wprowadzenie zagadnienia Cauchy’ego.
2. Podstawowe metody całkowania równań
różniczkowych pierwszego rzędu: Równanie o zmiennych rozdzielonych, Równanie jednorodne, Równanie liniowe, Równanie Bernoulliego.
3. Istnienie i jednoznaczność rozwiązania równania różniczkowego y‘=f(t,y): Twierdzenie Peano, Warunek Lipschitza, Twierdzenie Picarda-Lindelöfa.
4. Równanie różniczkowe n-tego rzędu: Związek między równaniami n-tego rzędu i układem równań, Niektóre specjalne typy równań n-tego rzędu.
5. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu: Liniowość równań, Zasada składania, Składanie i rozwiązanie ogólne, Liniowa zależność i niezależność układu funkcji, Wrońskian układu funkcji, Wrońskian układu rozwiązań równania jednorodnego, Układ fundamentalny rozwiązań równania jednorodnego, Wzór Liouville’a-Ostrogradskiego, Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego, Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego, Obniżenie rzędu równania jednorodnego.
6. Rozwiązanie ogólne równania różniczkowe liniowego n-tego rzędu o stałych współczynnikach: Równanie charakterystyczne, pierwiastki proste rzeczywiste, Zamiana zespolonych rozwiązań na rzeczywiste, pierwiastki wielokrotne, Metoda uzmienniania stałych, Metoda współczynników nieoznaczonych.
7. Układ równań różniczkowych liniowych: Pojęcie układu liniowego, Zasada składania, Liniowa zależność i niezależność funkcji wektorowych, Wzór Abela-Liouville’a, Macierz fundamentalna i układ fundamentalny rozwiązań, Twierdzenie o strukturze rozwiązań jednorodnego układu, Rozwiązanie ogólne jednorodnego układu liniowego, Rozwiązanie ogólne niejednorodnego układu liniowego, Rozwiązanie szczególne niejednorodnego układu liniowego. Metoda uzmienniania stałych.
8. Liniowy układ jednorodny o stałych współczynnikach, Metoda wektorów własnych: Przypadek pojedynczych (parami różnych) wartości własnych, Przypadek zespolonych wartości własnych, Przypadek wielokrotnych wartości własnych, Uogólnione wektory własne, Metoda wektorów własnych – konstrukcja układu fundamentalnego, Metoda macierzy Weyra.
9. Niejednorodny układ liniowy o stałych współczynnikach: Bezpośrednia metoda współczynników nieoznaczonych, Pośrednia metoda współczynników nieoznaczonych.
10. Metoda eliminacji dla układów równań różniczkowych
|