Wstęp do matematyki 360-MS1-1WDM
Wykład (WYK) Rok akademicki 2024/25

[Podstawowa:] 1. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości, PWN 2005

2. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN 2013

[Uzupełniająca:] 3. L. Słupecki, Borkowski, Elementy logiki i teorii mnogości, PWN 1984

4. W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN 2011

5. W. Guzicki, P. Zakrzewski, Wstęp do matematyki. Zbiór zadań, PWN 2005.

[Specjalistyczna:] 1. E. Domagała-Zyśk, Model projektowania uniwersalnego w akademickiej edukacji inkluzyjnej. Strategie i rekomendacje, Oblicza Życia, Księga Jubileuszowa, Profesor Doroty Kornas-Bieli, 2002

2. K. Cichocka-Segiet, P. Mostowski, P. Rutkowski, Uniwersalne projektowanie zajęć droga do zaspokajania zróżnicowanych potrzeb edukacyjnych

Efekty kształcenia w ramach realizacji przedmiotu zgodnie z koncepcją projektowania uniwersalnego w edukacji, (zapewnienie studentowi różnorodnych form ekspresji prezentowania wiedzy i kompetencji):

Potrafi posługiwać się językiem klasycznego rachunku zdań i kwantyfikatorów i umiejętność tę wykorzystać w języku potocznym. - egzamin pisemny/ustny ; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Rozumie pojęcia tautologii tych rachunków i potrafi sprawdzić prawdziwość formuły klasycznej logiki zdań. - egzamin pisemny/ustny; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Rozumie ograniczenia związane ze sprawdzaniem prawdziwości formuł klasycznej logiki kwantyfikatorów. - obserwacja ciągła aktywności studenta;

Zna język teorii mnogości i umie dowodzić elementarne twierdzenia tej teorii. - egzamin pisemny/ustny; prezentacje rozwiązań zadań na zajęciach;

Potrafi wyznaczyć podstawowe własności relacji dwuargumentowych i rozumie ich związek z iloczynami kartezjańskimi. - egzamin pisemny/ustny; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Zna i rozumie pojęcie relacji równoważności oraz rolę zasady abstrakcji i potrafi ją wykorzystać do konstrukcji nowych pojęć. - egzamin pisemny/ustny; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Rozumie i potrafi stosować pojęcia obrazu i przeciwobrazu wyznaczonego przez funkcje oraz potrafi sprawdzać surjektywność i injektywność funkcji. - egzamin pisemny/ustny; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Zna pojęcie indeksowanej rodziny zbiorów i potrafi wykonywać działania uogólnione na takich rodzinach. - egzamin pisemny/ustny; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Rozumie pojęcie liczby kardynalnej i potrafi wiedzę tę wykorzystać do klasyfikacji zbiorów ze względu na ich moce. Zdaje sobie sprawę z różnych rodzajów nieskończoności. Zna twierdzenia Cantora i Cantora - Bernsteina. - egzamin pisemny/ustny; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Zna i rozumie pojęcia częściowych porządków, porządków liniowych i dobrych, rozumie znaczenie indukcji pozaskończonej i twierdzenia Zermelo. - egzamin pisemny/ustny; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Po zrealizowaniu przedmiotu student uzyskuje podstawy metodologiczne uprawiania i uczenia się matematyki. - obserwacja ciągła aktywności studenta; egzamin pisemny/ustny;

Egzamin kończący (dopuszczone tylko osoby, które zaliczyły ćwiczenia):

Treść zajęć:

1. Klasyczna logika zdaniowa (język, formuła, reguła wnioskowania, aksjomatyka, przykłady tez, pojęcie dowodu, twierdzenie o dedukcji, wartościowanie, tautologia, metoda zero-jedynkowa, twierdzenie o pełności).

2. Klasyczna logika kwantyfikatorów (język, aksjomatyka, pojęcie dowodu, przykłady tez i reguł wnioskowania).

3. Zbiory i operacje na zbiorach (sposoby określania zbiorów, zbiór pusty, równość zbiorów, zawieranie się zbiorów, suma, przecięcie, różnica i dopełnienie zbiorów, para uporządkowana, iloczyn kartezjański zbiorów, zbiór potęgowy).

4. Aksjomaty teorii mnogości. Przykłady paradoksów powstających w tzw. naiwnej teorii mnogości.

5. Relacje (dziedziny relacji, sposoby przedstawiania relacji, obraz i przeciwobraz zbioru wyznaczony przez relację, relacja identyczności, relacja pusta, relacja pełna, relacje: zwrotne, symetryczne, antysymetryczne, asymetryczne, przechodnie, spójne).

6. Funkcje (dziedzina i przeciwdziedzina, sposoby przedstawiania funkcji, obraz i przeciwobraz zbioru wyznaczony przez funkcję, składanie funkcji, funkcja różnowartościowa, funkcja ,,na’’, bijekcja, funkcja odwrotna, odwrotność funkcji).

7. Uogólnione działania na zbiorach (suma, przecięcie, produkt).

8. Relacja równoważności (definicja, przykłady, klasa abstrakcji, podział zbioru, zasada abstrakcji). Zastosowanie do konstrukcji zbiorów liczbowych.

9. Równoliczność i moce zbiorów (zbiór przeliczalny i nieprzeliczalny, zbiór mocy continuum, liczba kardynalna, twierdzenie Cantora, twierdzenie Cantora-Bernsteina).

10. Relacje porządkujące i zbiory uporządkowane (definicje, przykłady, porządek częściowy i liniowy, elementy wyróżnione, łańcuch i antyłańcuch, podobieństwo zbiorów uporządkowanych, porządek gęsty, porządek ciągły, porządek dobry, zasada dobrego uporządkowania, liczba porządkowa).

Metody dydaktyczne zgodnie z koncepcją projektowania uniwersalnego w edukacji (zapewnienie różnorodności form angażowania i motywowania studenta do pracy): wykłady, praca nad literaturą, dyskusje w grupach problemowych, burza mózgów.