Teoria miary i całki 360-MS2-1TM
Ćwiczenia (CW) Rok akademicki 2024/25

P. Halmos, Measure theory, van Nostrand, Princeton, 1956.

S. Łojasiewicz, Wstep do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, 1987

W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa, 2009.

A. Birkholc Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN 1986.

W ramach realizacji przedmiotu:

Rozumie różnice oraz przewagę całki Lebesgue'a nad całką Riemanna; zna podstawowe własności całki Lebesgue'a. - kolokwium; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacje rozwiązań zadań na zajęciach; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Zna podstawowe twierdzenia o przejściu z granicą pod znak całki oraz twierdzenie Radona-Nikodyma - kolokwium/kolokwia;/domowe prace rachunkowe, problemowe/prezentacje rozwiązań zadań na zajęciach/obserwacja ciągła aktywności studenta;

Umie obliczać całki funkcji prostych względem abstrakcyjnych miar. - kolokwium/domowe prace rachunkowe, problemowe; prezentacje rozwiązań zadań na zajęciach/obserwacja ciągła aktywności studenta;

Umie rozróżniać struktury metryczne, w tym struktury na rodzinach zbiorów. - kolokwium; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacje rozwiązań zadań na zajęciach/obserwacja ciągła aktywności studenta;

Umie stosować podstawowe twierdzenia o przejściu z granicą pod znak całki. - kolokwium; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacje rozwiązań zadań na zajęciach; obserwacja ciągła aktywności studenta;

1. Na zajęciach przewidziane są 2 kolokwia. Prowadzący może każdą z prac pisemnych oceniać we właściwej dla niej skali punktowej z tym, że liczba uzyskanych punktów zostaje przeliczona na wartość procentową. Liczy się średnia arytmetyczna wartości procentowych uzyskanych z dwóch kolokwiów.

2. Prowadzący wyznacza jeden termin każdego kolokwium. Przy czym może zorganizować kolokwia poprawkowe, w przypadku, gdy duża ilość osób nie zaliczy kolokwium w pierwszym terminie lub gdy pojawią się osoby, które z

przyczyn obiektywnych nie mogły pojawić się w pierwszym terminie lub może zorganizować (dla osób które nie otrzymały wymaganej minimalnej liczby punktów) zaliczenie z całości obowiązującego materiału.

3. Prowadzący wystawia ocenę końcową zgodnie z określoną na końcu skalą ocen, z zastrzeżeniem, że student zdobył z każdego z obu kolokwiów co najmniej 25% punktów.

4. Prowadzący może podnieść punktację końcową o 10% w przypadku, gdy student wykazywał się aktywnością na zajęciach. Przy czym aktywność może maksymalnie podnieść ocenę o jeden stopień. Procent przyznany za aktywność liczony jest proporcjonalnie przy założeniu , że 12 pkt - 10% lub najwyższa punktacja w grupie - 10%.

5. Wynik końcowy podawany jest z dokładnością do jedności.

Oceny przyznawane są wg skali:

mniej niż (<) 51% - ocena 2;

od 51% do 60 %- ocena 3,

od 61% do 70% - ocena 3,5;

od 71% do 80%- ocena 4,

od 81% do 90%- ocena 4,5;

od 91% do 100% - ocena 5.

Treść zajęć:

Pojęcie sigma ciała, ciała, pierścienia i półpierścienia zbioru.

Miara zewnętrzna; twierdzenie Caratheodory'ego; miara Lebesgue'a w rzeczywistej przestrzeni n-wymiarowej; charakteryzacja zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a; funkcje mierzalne, działania na funkcjach mierzalnych, całka funkcji prostej, całka funkcji mierzalnej; twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki; różne rodzaje zbieżności; całka jako funkcja zbioru; całka Lebesgue'a a całka Riemanna, twierdzenie Radona - Nikodyma.

Metody dydaktyczne: ćwiczenia rachunkowe, konsultacje, praca nad literaturą, rozwiązywanie zadań domowych, dyskusje w grupach problemowych.