Uniwersytet w Białymstoku - Centralny System UwierzytelnianiaNie jesteś zalogowany | zaloguj się
katalog przedmiotów - pomoc

Analiza funkcjonalna

Informacje ogólne

Kod przedmiotu: 360-MS2-1AF Kod Erasmus / ISCED: 11.103 / (0541) Matematyka
Nazwa przedmiotu: Analiza funkcjonalna
Jednostka: Wydział Matematyki
Grupy: 2 - 1 rok sem. letni Matematyka specj. matematyka finansowa
Punkty ECTS i inne: 6.00
zobacz reguły punktacji
Język prowadzenia: polski
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Założenia (opisowo):

Zapoznanie z podstawami teorii przestrzeni Banacha oraz teorii operatorów liniowych ciągłych.

Tryb prowadzenia przedmiotu:

w sali
zdalnie

Skrócony opis:

Przestrzenie unormowane. Przestrzenie Banacha. Przykłady klasycznych przestrzeni Banacha. Przestrzeń operatorów ograniczonych, przestrzeń dualna. Przestrzenie Hilberta. Rzut ortogonalny - istnienie i jednoznaczność, operator rzutowania. Twierdzenie o postaci funkcjonału liniowego i ograniczonego na przestrzeni Hilberta. Baza ortogonalna. Wymiar przestrzeni Hilberta. Operatory w przestrzeni Hilberta - sprzężenie operatorowe, klasy operatorów.Twierdzenie Hahna-Banacha, przestrzenie refleksywne. Przestrzenie dualne do klasycznych przestrzeni Banacha. Twierdzenie Banacha-Steinhausa i twierdzenie Baire'a. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym. Twierdzenie o wykresie domkniętym. Elementy teorii spektralnej.

Pełny opis:

Profil kształcenia: ogólnoakademicki

Forma studiów: stacjonarne

Przedmiot obowiązkowy

Dziedzina: nauki matematyczne, dyscyplina: matematyka

Rok studiów: 1, semestr: 2

Prerekwizyty: brak

wykład 30 godz. ćwiczenia 30 godz.

Metody dydaktyczne: wykłady, ćwiczenia rachunkowe, konsultacje, praca nad literaturą, rozwiązywanie zadań domowych, dyskusje w grupach problemowych.

Punkty ECTS: 6

Bilans nakładu pracy studenta:

udział w wykładach15x2h = 30h

udział w ćwiczeniach 15x2h = 30h

przygotowanie do zajęć 15x2h = 30h

dokończenie rozwiązywania zadań rozpoczętych na ćwiczeniach i opracowanie w domu notatek po odbytych zajęciach (wykładach, ćwiczeniach) 7x2h = 14h

udział w konsultacjach 7x3h = 21h

przygotowanie do kolokwiów i udział w nich 6+3x4h = 18h

przygotowanie do egzaminu i udział w nim 12h + 3h = 15h

Wskaźniki ilościowe

nakład pracy studenta związany z zajęciami wymagającymi bezpośredniego udziału nauczyciela akademickiego: 84 godzin, 3 ECTS

nakład pracy studenta związany z zajęciami o charakterze praktycznym: 104 godzin, 3 ECTS

Efekty uczenia się:

Student rozumie pojęcia przestrzeni Banacha i przestrzeni Hilberta oraz podstawowe fakty i twierdzenia z nimi związane. Zna podstawy teorii operatorów liniowych ciągłych. Zna przykłady ograniczonych operatorów liniowych.

KA7_WG01,KA7_WG02, KA7_WG03, KA7_WG04, KA7_UW02, KA7_UW03, KA7_UW04, KA7_UW08, KA7_UW09

Metody i kryteria oceniania:

Ogólna forma zaliczenia: egzamin i kolokwia

Zajęcia w cyklu "Rok akademicki 2020/21" (zakończony)

Okres: 2020-10-01 - 2021-06-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Bartosz Kwaśniewski
Prowadzący grup: Krzysztof Bardadyn, Bartosz Kwaśniewski
Strona przedmiotu: https://math.uwb.edu.pl/~zaf/kwasniewski/teaching
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Rodzaj przedmiotu:

obowiązkowe

Tryb prowadzenia przedmiotu:

mieszany: w sali i zdalnie
w sali
zdalnie

Skrócony opis:

Przestrzenie unormowane. Przestrzenie Banacha, uzupełnienie, podprzestrzeni, przestrzeń ilorazowa. Klasyczne przestrzenie Banacha. Przestrzeń operatorów ograniczonych, przestrzeń dualna. Przestrzenie Hilberta. Rzut ortogonalny - istnienie i jednoznaczność, operator rzutowania. Twierdzenie o postaci funkcjonału liniowego i ograniczonego na przestrzeni Hilberta. Baza ortogonalna. Wymiar przestrzeni Hilberta. Operatory w przestrzeni Hilberta - sprzężenie operatorowe, klasy operatorów.Twierdzenie Hahna-Banacha, przestrzenie refleksywne. Przestrzenie dualne do klasycznych przestrzeni Banacha. Twierdzenie Banacha-Steinhausa i twierdzenie Baire'a. Topologia słaba i ∗-słaba - Twierdzenie Alaoglu. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym. Twierdzenie o wykresie domkniętym. Elementy teorii spektralnej w algebrach Banacha.

Pełny opis:

Przestrzenie unormowane, równoważność norm, przestrzenie skończenie wielowymiarowe. Przestrzenie Banacha, uzupełnienie, podprzestrzenie, przestrzeń ilorazowa. Klasyczne przestrzenie Banacha - przestrzeń funkcji ciągłych, funkcji całkowalnych w p-tej potędze, przestrzenie ciągów, przestrzeń miar zespolonych. Ciągłość operatorów i funkcjonałów liniowych - przestrzeń operatorów ograniczonych, przestrzeń dualna do przestrzeni Banacha. Przestrzenie Hilberta - charakteryzacja jako przestrzeni Banacha spełniających tożsamość równoległoboku, przykłady. Rzut ortogonalny - istnienie i jednoznaczność, operator rzutowania. Twierdzenie o postaci funkcjonału liniowego i ograniczonego na przestrzeni Hilberta. Baza ortogonalna - charakteryzacja przestrzeni Hilberta jako przestrzeni ciągów, ośrodkowe przestrzenie Hilberta. Operatory w przestrzeni Hilberta - sprzężenie operatorowe, operatory normalne, samosprzężone, unitarne.Twierdzenie Hahna-Banacha - związek między funkcjonałami nad R i C, wnioski z Twierdzenie Hahna-Banacha, przestrzenie refleksywne. Przestrzenie dualne do klasycznych przestrzeni Banacha - w tym do przestrzeni Lp i C0(M) (Twierdzenie Riesz'a o reprezentacji funkcjonału na C0(M)). Twierdzenie Banacha-Steinhausa - twierdzenie Baire'a, ograniczoność granicy punktowej operatora ograniczonego. Topologia słaba i ∗-słaba - Twierdzenie Alaoglu. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym - wnioski. Twierdzenie o wykresie domkniętym. Algebry Banacha - własności elementów odwracalnych. Widmo i promień spektralny - podstawowe własności, przykłady.

Literatura:

[1] B. K. Kwasnieski, Analiza Funkcjonalna, skrypt https://math.uwb.edu.pl/~zaf/kwasniewski/pdf/skrypt.pdf

[2] J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, 1976

[3] S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, 2007.

[4] W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, 1998

Zajęcia w cyklu "Rok akademicki 2021/22" (zakończony)

Okres: 2021-10-01 - 2022-06-30
Wybrany podział planu:


powiększ
zobacz plan zajęć
Typ zajęć: Ćwiczenia, 30 godzin więcej informacji
Wykład, 30 godzin więcej informacji
Koordynatorzy: Bartosz Kwaśniewski
Prowadzący grup: Krzysztof Bardadyn, Bartosz Kwaśniewski
Lista studentów: (nie masz dostępu)
Zaliczenie: Przedmiot - Egzamin
Ćwiczenia - Zaliczenie na ocenę
Opisy przedmiotów w USOS i USOSweb są chronione prawem autorskim.
Właścicielem praw autorskich jest Uniwersytet w Białymstoku.