Algebra I 360-MS1-2ALG1
Ćwiczenia (CW) Rok akademicki 2020/21

1. M. Bryński, J. Jurkiewicz, Zbiór zadań z algebry, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1981.

2. red. A.I. Kostrykin, Zbiór zadań z algebry, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.

3. J. Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000.

4. K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1989.

Efekty osiągnięte w ramach realizacji przedmiotu:

Student(ka) wie, że poznane struktury algebraiczne występują i mają znaczenie w różnych teoriach matematycznych. - seria kartkówek; kolokwium/kolokwia; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacja rozwiązań zadań na zajęciach; dyskusja w trakcie zajęć; obserwacja ciągła aktywności studenta.

Student(ka) zna podstawowe pojęcia algebry ogólnej i umie je zilustrować przykładami (grupy permutacji, pierścienie wielomianów, ciała GF(p^n)). - seria kartkówek; kolokwium/kolokwia; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacja rozwiązań zadań na zajęciach; dyskusja w trakcie zajęć; obserwacja ciągła aktywności studenta.

Student(ka) umie sformułować najważniejsze twierdzenia algebry ogólnej, zna zasadnicze twierdzenie algebry i rozumie jego znaczenie. - seria kartkówek; kolokwium/kolokwia; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacja rozwiązań zadań na zajęciach; dyskusja w trakcie zajęć; obserwacja ciągła aktywności studenta.

Student(ka) zna przykłady zastosowań metod algebry ogólnej w różnych działach matematyki (na przykład małe twierdzenie Fermata w teorii liczb). - seria kartkówek; kolokwium/kolokwia; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacja rozwiązań zadań na zajęciach; dyskusja w trakcie zajęć; obserwacja ciągła aktywności studenta.

Student(ka) umie wykorzystać najważniejsze twierdzenia algebry ogólnej do rozwiązywania standardowych zadań. - seria kartkówek; kolokwium/kolokwia; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacja rozwiązań zadań na zajęciach; dyskusja w trakcie zajęć; obserwacja ciągła aktywności studenta.

Student(ka) rozumie problemy sformułowane w języku algebry ogólnej. - seria kartkówek; kolokwium/kolokwia; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacja rozwiązań zadań na zajęciach; dyskusja w trakcie zajęć; obserwacja ciągła aktywności studenta.

Student(ka) dostrzega analogie między własnościami różnych struktur algebraicznych. - seria kartkówek; kolokwium/kolokwia; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacja rozwiązań zadań na zajęciach; dyskusja w trakcie zajęć; obserwacja ciągła aktywności studenta.

Student(ka) umie wskazać konkretny przykład zastosowania algebry ogólnej w rzeczywistości (na przykład kryptografia). - seria kartkówek; kolokwium/kolokwia; domowe prace rachunkowe/problemowe; prezentacja rozwiązań zadań na zajęciach; dyskusja w trakcie zajęć; obserwacja ciągła aktywności studenta.

W trakcie ćwiczeń student(ka) ma następujące możliwości zdobywania punktów:

1. dwa kolokwia. Kolokwia zostaną przeprowadzone w formie zdalnej. Każdy(a) student(ka) dostanie własny zestaw zadań, które należy rozwiązać i w określonym czasie rozwiązania odesłać prowadzącemu oraz zamieścić na platformie Blackboard. Za każde kolokwium student(ka) może otrzymać maksymalnie 45 punktów. Dla każdego z obu kolokwiów przewidziane są dwa terminy. Student(ka) może przystąpić do kolokwium albo w jednym dowolnie wybranym przez siebie terminie albo w obu terminach. Student(ka), który(a) przystąpi do kolokwium po raz drugi może albo nie odesłać rozwiązań zadań i wówczas będzie liczył się wynik osiągnięty w pierwszym terminie albo odesłać rozwiązania zadań i wówczas będzie liczył się wynik osiągnięty w drugim terminie. W przypadku usprawiedliwionej nieobecności na kolokwium w obu terminach, student(ka) będzie mógł(mogła) przystąpić do kolokwium w dodatkowym terminie ustalonym przez prowadzącego.

2. Prace domowe. Zadania z list, nierozwiązanie w trakcie zajęć, będą traktowane są jako praca domowa. Za każde prawidłowe rozwiązanie zadań z pracy domowej student(ka) otrzyma maksymalnie 2 punkty.

Podstawą uzyskania zaliczenia ćwiczeń jest

1. obecność na zajęciach. Dopuszczalna jest jedna nieusprawiedliwiona nieobecność na zajęciach. Każdą kolejną nieobecność należy usprawiedliwić stosownym zaświadczeniem lub odrobić.

2. uzyskanie z każdego kolokwium co najmniej 15 punktów.

3. uzyskanie łącznie co najmniej 50 punktów.

Skala ocen z ćwiczeń:

niedostateczny – do 49,9 punktów

dostateczny – od 50 do 59,9 punktów

dostateczny plus – od 60 do 69,9 punktów

dobry – od 70 do 79,9 punktów

dobry plus – od 80 do 89,9 punktów

bardzo dobry – od 90 punktów.

Student(ka), który(a) nie spełnia w/w warunków będzie mógł(mogła) przystąpić na koniec semestru do kolokwium ratunkowego (obejmującego materiał z całego semestru) pod warunkiem, że

1. liczba nieusprawiedliwionych nieobecności na zajęciach nie przekroczy dwóch. Ewentualne pozostałe nieobecności zostaną usprawiedliwione lub odrobione.

2. student(ka) uzyskał(a) przynajmniej z jednego kolokwium co najmniej 15 punktów.

Uzyskanie co najmniej 50% punktów z kolokwium ratunkowego zalicza ćwiczenia na ocenę dostateczną.

Treści zajęć: Grupy, przykłady grup (grupy przekształceń w tym grupy permutacji, grupy izometrii figur płaskich, grupy macierzy), podgrupy, dzielniki normalne grup, grupy ilorazowe, iloczyny proste grup, homomorfizmy grup, twierdzenie o izomorfizmie grup, twierdzenia Lagrange’a i Cayley’a, związki z teorią liczb (twierdzenie Eulera, małe twierdzenie Fermata), komutant i centrum grupy, grupy abelowe, grupy cykliczne, struktura skończenie generowanych grup abelowych. Pierścienie, przykłady pierścieni (między innymi pierścienie klas reszt z dzielenia przez liczby naturalne), podpierścienie, ideały (główne, pierwsze, maksymalne), pierścienie ilorazowe, homomorfizmy pierścieni, twierdzenie o izomorfizmie pierścieni, pierścienie wielomianów nad pierścieniami, podzielność w dziedzinach całkowitości, elementy pierwsze, elementy nierozkładalne, dziedziny z jednoznacznością rozkładu. Ciała, ciała skończone, ciała ułamków dziedzin całkowitości, rozszerzenia algebraiczne ciał, ciała algebraicznie domknięte, zasadnicze twierdzenie algebry.

Metody dydaktyczne: ćwiczenia rachunkowe, konsultacje, praca nad literaturą, rozwiązywanie zadań domowych, prezentacja przygotowanych w domu rozwiązań zadań na forum grupy, dyskusje w grupach problemowych, wspólne rozwiązywanie zadań na tablicy, wysyłanie materiałów za pośrednictwem systemu USOSweb, ćwiczenia rachunkowe prowadzone w systemie zdalnym z użyciem komunikatorów internetowych (Microsoft Teams), konsultacje prowadzone w systemie zdalnym z życiem komunikatorów internetowych (Zoom).