Funkcje analityczne 360-FS1-3FA
Wykład (WYK) Rok akademicki 2020/21

W. Szabat, Analiza zespolona.

K. Maurin, Analiza. Wstęp do analizy globalnej

F. Leja, Funkcje zespolone

J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych

J. Długosz Funkcje zespolone. Teoria, przykłady, zadania

E. Kącik, L. Siewierski, Wybrane działy matematyki wyższej z

ćwiczeniami

K_KA6_UW25, KA6_WG03,KA6_WG04.

Zaliczenie pisemne zdalne. Uwzględnione przy ocenie będą także wyniki z ćwiczeń.

Pochodna w dziedzinie zespolonej. Funkcje holomorficzne. Równania Cauchy'ego-Riemanna. Odwzorowania konforemne.

Ciągi i szeregi funkcyjne zespolone. Szeregi potęgowe zespolone. Wzór na promień zbieżności. Podstawowe funkcje elementarne w dziedzinie zespolonej: funkcja wykładnicza, funkcje trygonometryczne, gałęzie logarytmu i potęgi zespolonej.

Rozszerzony zbiór liczb zespolonych i sfera Riemanna. Funkcje wymierne i grupa homografii.

Całka funkcji wzdłuż drogi. Twierdzenie Cauchy'ego i jego podstawowe konsekwencje: wzór całkowy Cauchy'ego, nierówności Cauchy'ego, analityczność funkcji holomorficznych. Całki po krzywych homotopijnych. Istnienie funkcji pierwotnej w obszarze jednospójnym.

Zasada identyczności. Twierdzenie Weierstrassa o ciągach funkcji holomorficznych. Twierdzenie Liouville'a i Zasadnicze Twierdzenie Algebry. Twierdzenie Morery.

Rozwijanie funkcji holomorficznej w pierścieniu w szereg Laurenta. Klasyfikacja izolowanych punktów osobliwych. Funkcje całkowite, meromorficzne.

Twierdzenie o residuach i jego zastosowania do obliczania całek w dziedzinie rzeczywistej.

Metody dydaktyczne: wykłady, konsultacje, praca nad literaturą, dyskusje w grupach problemowych.