Modele różniczkowe i różnicowe w biologii, ekonomii i fizyce 360-FS1-3MRZZ
Wykład (WYK) Rok akademicki 2021/22

Student ma pogłębioną wiedzę z równań różniczkowych. - zaliczenie ustne; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Zna podstawowe pojęcia teorii równań różnicowych. - zaliczenie ustne; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Potrafi samodzielnie wyszukiwać w literaturze wiadomości na zadany temat, rozumie nazwy i terminy matematyczne w językach obcych. -

rozwiązanie problemowych i rachunkowych prac domowych.

Potrafi użyć formalizmu matematycznego do budowy i analizy modeli matematycznych w biologii, ekonomii i fizyce. - zaliczenie ustne; obserwacja ciągła aktywności studenta;

Przypomnienie i rozszerzenie metod rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych, równania Eulera-Cauchy'ego. Całka

pierwsza równania, układ zachowawczy, równania Hamiltona, funkcja Hamiltona. Przykłady zastosowań równań różniczkowych w fizyce

– oscylator harmoniczny, wahadło matematyczne. Znaczenie całek pierwszych (do obniżania rzędu układu równań). Prawo zachowania

energii w przypadku układu zachowawczego. Przykład zastosowań – zagadnienie Keplera, w tym krzywe stożkowe. Modele biologiczne

(przykłady zastosowań równań różniczkowych i różnicowych). Model Fibonacciego rozmnażania się królików, ciąg Fibonacciego, złota

liczba, złoty podział. Dyskretyzacja równań różniczkowych. Pewne klasy równań różnicowych - równania różnicowe jednorodne rzędu k o

stałych współczynnikach (metody rozwiązywania, przykłady, zastosowanie do rekurencji na ciąg Fibonacciego). Przykłady zastosowań

równań różniczkowych w modelach biologicznych: model Malthusa, równanie logistyczne. Punkty krytyczne układów liniowych na

płaszczyźnie fazowej. Stabilność punktów krytycznych i ich klasyfikacja. Punkty krytyczne układów nieliniowych i ich stabilność.

Linearyzacja układów autonomicznych. Dynamika populacyjna. Analiza układu równań Lotki–Volterry (układ drapieżca–ofiara przy

nieograniczonych zasobach pożywienia). Jakościowa analiza modelu drapieżca–ofiara i ograniczone zasoby, modelu konkurujących

gatunków, modelu epidemii, itp. Przykłady zastosowań równań różniczkowych i różnicowych w modelach ekonomicznych: model

wzrostu, model cyklu ekonomicznego, model rozprzestrzeniania się inowacji, itp. Poszukiwanie rozwiązań w postaci szeregów - równania opisujące wielomiany ortogonalne oraz funkcje Bessela. Metoda

faktoryzacji operatorów różniczkowych rzędu drugiego i zastosowanie jej do równania Schrodingera.