Analysis II

Podstaw matematyczne analizy odwzorowań i funkcji wielu zmiennych (mające na celu bardziej ukazanie rozległości tematyki i ciekawych wątków niż kompletność), z nieco szerszym omówieniem zagadnień topologii.

Klasyczne omówienie rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych , z naciskiem na badanie ekstremów. Szczegółowe omówienie form różniczkowych i całkowania po łańcuchach. Twierdzenia Poincare i Stokes'a.

Analiza wektorowa - język klasyczny.

Profil studiów: ogólnoakademicki

Forma studiów: stacjonarne

Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy (Moduł 2: Narzędzia matematyki)

Dziedzina i dyscyplina nauki: Dziedzina nauk ścisłych i przyrodniczych, Dyscyplina matematyka.

Specjalność, poziom kształcenia : fizyka, studia pierwszego stopnia

Rok studiów/semestr: 1. rok/2. semestr

Wymagania wstępne: Nie ma.

Liczba godzin zajęć dydaktycznych: Wykład - 45 godz, konwersatorium - 60 godz.

Metody dydaktyczne: wykład, rozwiązywanie zadań, dyskusja, konsultacje, praca własna studenta w domu

Punkty ECTS: 8

Bilans nakładu pracy studenta: udział w wykładach (30 godz.), udział w konwersatorium (45 godz.), udział w konsultacjach (15 godz.), praca własna w domu i przygotowanie się do zaliczeń/egzaminu (80 godz.).

Wskaźniki ilościowe: nakład pracy studenta związany z zajęciami

Zagadnienia realizowane w trakcie wykładu:

1) funkcje i odwzorowania wielu zmiennych,

2) przypomnienie podstawowych faktów związanych z ciągłoscią,

3) różniczkowanie funkcji wielu zmiennych i odwzorowań - pochodne kierunkowe i pochodne Frecheta - mocne.

4) Wzór Taylora,

5) ekstrema funkcji wielu zmiennych: kryteria konieczne i dostateczne,

6) ekstrema "związane", odwzorowania uwikłane,

7) Całka Riemnna - Lebesgue po kostkach k-wymiarowych, całki iterowane,

8) łańcuchy k-wymiarowe, brzegi, informacje o homologiach,

9) firmy różniczkowe: różniczka zewnętrzna, forma pierwotna,

10) całkowanie form różniczkowych, Lemat Poincare, Twierdzenie Stokesa,

10.1) kohomologie

11)wybrane układy współrzędnych w R^3,

12) analiza wektorowa, język XIX - wieczny, archaiczny, klasyczny,

1) Andrzej Birkholz, Analiza matematyczna - funkcje wielu zmiennych, PWN 1977

2) Krzysztof Maurin, Analiza, tom I Elementy, PWN 1991

3) Krzysztof Maurin Analiza, tom II ogólne struktury ....PWN 1991,

4) Walter Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN 1969

Literatura uzupełniająca:

5) R.Bott, L.W.Tu, Differential forms in algebraic topology, Springer Verlag 1982

Student:

1. Poznaje podstawowy aparat matematyczny analizy matematycznej i innych działów matematyki wyższej, niezbędny do dalszego studiowania fizyki.

2. Zdobywa sprawność rachunkową i umiejętność stosowania narzędzi matematycznych do stawiania oraz rozwiązywania problemów fizyki i dyscyplin pokrewnych.

3. Umie przeprowadzać podstawowe rozumowania matematyczne.

4. Posługuje się językiem matematycznym do opisu rzeczywistości fizycznej.

5. Posiada sprawność rachunkową w zakresie rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej.

6. Orientuje się w zagadnieniach matematyki wyższej mających znaczenie dla dalszego studiowania fizyki.

7. Umie zastosować metody matematyki wyższej do zagadnień nauk matematyczno-przyrodniczych.

Kody:

K_W06, K_W07, K_U03, K_U04, K_K01.

Na ćwiczeniach studenci rozwiązują zadania rachunkowe oraz otrzymują do zrobienia zadania domowe. Nacisk jest położony na uzyskanie przez nich kilku umiejętności, opisanych jako główne efekty kształcenia. Efekty sprawdzane są poprzez sprawdziany pisemne (kolokwia), dwa w ciągu semestru. Oceniana jest także aktywność na zajęciach oraz kreatywność w podejściu do rozwiązywanych problemów. Po zakończeniu kształcenia z przedmiotu Analiza Matematyczna odbywa się egzamin pisemny i ustny, który weryfikuje uzyskaną wiedzę: Studenci otrzymują indywidualne zestawy zadań z algebry - przygotowują rozwiązania "w domu". Podczas egzaminu ustnego referują rozwiązania problemów na forum grupy, wykładowca zadaje pytania precyzujące wypowiedź. Oceniana jest wiedza merytoryczna, umiejętności rachunkowe oraz umiejętność publicznego przedstawienia problemu i jego rozwiązania.