Teoria miary i całki

obowiązkowe

Założenia i cele przedmiotu: Student po odbyciu kursu powinien: rozumieć różnicę, a dokładniej przewagę całki Lebesgue'a nad całką Riemanna; dostrzegać i rozróżniać struktury metryczne, w tym struktury na rodzinach zbiorów; znać i umieć stosować podstawowe twierdzenia o przejściu z granicą pod znak całki oraz twierdzenie Radona - Nikodyma; a także rozumieć podstawową literaturę dotyczącą tematyki, w tym posiadać zdolność samodzielnego pogłębiania i poszerzania wiedzy w danym zakresie.

Profil kształcenia: ogólnoakademicki

Forma studiów: stacjonarne

Przedmiot obowiązkowy

Dziedzina nauk ścisłych i przyrodniczych, dyscyplina: matematyka

Rok studiów: 1, semestr: 1

Prerekwizyty: brak

wykład 30 godz. ćwiczenia 30 godz.

Metody dydaktyczne: wykłady, ćwiczenia rachunkowe, konsultacje, praca nad literaturą, rozwiązywanie zadań domowych, dyskusje w grupach problemowych.

Punkty ECTS: 6

Bilans nakładu pracy studenta:

udział w wykładach 15x2h = 30h

udział w ćwiczeniach 15x3h = 30h

przygotowanie do zajęć 10x3h = 30h

dokończenie rozwiązywania zadań rozpoczętych na ćwiczeniach i opracowanie w domu notatek po odbytych zajęciach (wykładach, ćwiczeniach) 7x2h = 14h

udział w konsultacjach 12x1h = 12h

przygotowanie do egzaminu i udział w nim 16h + 4h = 20h

przygotowanie do kolokwiów 3x4h = 12h

rozwiązanie zadań domowych 6x2h = 12h

Wskaźniki ilościowe

nakład pracy studenta związany z zajęciami wymagającymi bezpośredniego udziału nauczyciela akademickiego: 76 godzin, 3 ECTS

P. Halmos, Measure theory, van Nostrand, Princeton, 1956.

S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, 1987

W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa, 2009.

A. Birkholc Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN 1986.

Rozumie różnice oraz przewagę całki Lebesgue'a nad całką Riemanna; zna podstawowe własności całki Lebesgue'a. Zna podstawowe twierdzenia o przejściu z granicą pod znak całki oraz twierdzenie Radona-Nikodyma; rozumie pojęcie pochodnej Radona-Nikodyma. Umie obliczać całki funkcji prostych względem abstrakcyjnych miar. Umie rozróżniać struktury metryczne, w tym struktury na rodzinach zbiorów. Umie stosować podstawowe twierdzenia o przejściu z granicą pod znak całki.

KA7_WG03, KA7_UW02, KA7_UW07

Ogólna forma zaliczenia: egzamin (ustny lub ustny i pisemny) oraz kolokwia

Zagadnienia na egazmin, to

1. σ-algebry zbiorów: definicja, własności, przykłady, σ-algebry generowane przez rodziny zbiorów, σ-algebra zbiorów borelowskich na Rn- różne rodzaje generatorów.

2. Miary: własności, ciągłość miary vs σ-addytywność, przykłady miar.

3. Jednoznaczność miary: λ-układy, Lemat o λ i π-układach oraz twierdzenie Dynkina o jednoznaczności miary.

4. Wnioski z Twierdzenia o jednoznaczności: jednoznaczność miary Lebesgue’a, miary niezmieniczość ze względu na przesunięcia na Rn.

5. Twierdzenie Caratheodoriego o przedłużeniu miary z półpierścienia na σ-algebrę zbiorów: półpierścień, miara zewnętrzna, rozszerzenie z półpierścienia na pierścień, zbiory mierzalne (spełniające warunek Caratheodoriego).

6. Istnienie miary Lebesgue’a-Stieltjesa (σ-addytywność).

7. Odwzorowania mierzalne: charakteryzacje, własności, przykłady.

8. Obraz miary przy odwzorowaniu mierzalnym: definicja, przykłady, obraz miary Lebesgue’a przy odwracalnych odwzorowaniach liniowych.

9. Rzeczywiste funkcje mierzalne i funkcje proste: definicje, przykłady, własności, aproksymacja funkcji mierzalnych funkcjami prostymi.

10. Definicja i własności całki: wzór dla funkcji prostych, funkcji nieujemnych i definicja ogólna. Własności całki i przykłady.

11. Twierdzenie Radona-Nikodyma: miary absolutnie ciągłe, przykłady.

12. Zamiana zmiennych w całce: Twierdzenie ogólne, wnioski i przykłady (absolutna ciągłość miary Lebesgue’a-Stieltjesa, rozkłady ciągłe w prawdopodobieństwie).

13. Twierdzenia o przechodzeniu z granicą pod całkę: twierdzenie Leviego (o zbieżności monotonicznej) , twierdzenie Lebesgue’a (o zbieżności zmajoryzowanej) i lemat Fatou, przykłady.

14. Miary produktowe i całki iterowane: konstrukcja i istnienie miary produktowej, twierdzenie Tonellego i twierdzenie Fubiniego.

Minimalne wymagania na ocenę dostateczną: Znajomość definicji: σ-algebry, σ-algebry generowanej przez rodzinę zbiorów, σ-algebry zbiorów borelowskich, miary, miary Lebesgue’a (n-wymiarowej objętości), miary produktowej, funkcji mierzalnej, funkcji prostej, konstrukcja całki w sensie Lebesgue’a, związek między całką Lebesgue’a i Riemanna. Znajomość własności: miary (ciągłość, monotniczność, itp.), miary Lebesgue’a (n-wymiarowej objętości) (niezmienniczość ze względu na przesunięcia itp.), całki (liniowość, monotoniczność itp.) Znajomość twierdzeń: Twierdzenie o istnieniu miary Lebesgue’a (n-wymiarowej objętości), Twierdzenie Radona-Nikodyma, Twierdzenie Leviego (o zbieżności monotonicznej), Twierdzenie Lebesgue’a (o zbieżności zmajoryzowanej)

Minimalne wymagania na ocenę dobrą: Znajomość definicji: σ-algebra, pierścień, półpierścień, itp. a także takich struktur generowanych przez rodzinę zbiorów, σ-algebra zbiorów borelowskich, miara, przykłady miar; miara Lebesgue’a (n-wymiarowa objętość), miara licząca; miara zewnętrzna, miara produktowa, funkcja mierzalna, funkcja prosta, konstrukcja całki w sensie Lebesgue’a, związek między całką Lebesgue’a i Riemanna. Znajomość własności: zbiorów borelowskich (różne rodzaje generatorów), miary (ciągłość, monotniczność, itp.), miary Lebesgue’a (n-wymiarowej objętości) (niezmienniczość ze względu na przesunięcia itp.), funkcji mierzalnych (aproksymacja funkjami prostymi, zamkniętość na granice punktowe, operacje liniowe itp), całki (liniowość, monotoniczność itp.) Znajomość twierdzeń: Twierdzenia o Jednoznaczności miary, Twierdzenie o przedłużeniu miary z półpierścienia na σ-algebrę zbiorów, o istnieniu miary Lebesgue’a (n-wymiarowej objętości), o charakteryzacji miar na Rn niezmienniczych ze względu na przesunięcia, Twierdzenie Radona-Nikodyma, Twierdzenie o aproksymacji funkcji mierzalnych funkcjami prostymi, Twierdzenie Leviego (o zbieżności monotonicznej), Twierdzenie Lebesgue’a (o zbieżności zmajoryzowanej) i lemat Fatou, Twierdzenia Fubiniego i Tonellego.

Wymagania na ocenę bardzo dobrą: To co powyżej plus: dowód istnienia σ-algebry (itp) generowanej przez dowolną rodzinę zbiorów, dowód twierdzenia, że zbiory borelowskie na Rn, są generowane przez prostopadłościany, dowód właśności miary (w tym ciągłości miary), kroki w dowodzie Twierdzenia Caratheodoriego, dowód twierdznia o istnieniu miary Lebesgue’a (n-wymiarowej objętości), dowód własności funkcji mierzalnych (aproksymacja funkcjami prostymi, zamkniętość na granice punktowe, operacje liniowe itp), dowód własności całki (liniowość, montoniczność itp.), dowód Twierdzenie Leviego (o zbieżności monotonicznej), dowód Twierdzenia Lebesgue’a (o zbieżności zmajoryzowanej), dowód twierdzenia o istnieniu miary produktowej, dowód Twierdzenia Fubiniego i Twierdzenia Tonellego.