Algebra liniowa II 360-MS1-1AL2
Wykład (WYK) Rok akademicki 2022/23

Efekty osiągnięte w ramach realizacji przedmiotu: student(ka) posługuje się pojęciem przekształcenia liniowego; ilustruje je konkretnymi

przykładami; znajduje macierze przekształceń liniowych w różnych bazach; wyznacza wartości i wektory własne endomorfizmów

liniowych; wyjaśnia geometryczny sens tych pojęć; znajduje macierz i bazę Jordana endomorfizmów liniowych. - KA6_WG01,

KA6_WG02, KA6_WG03, KA6_WG04, KA6_UW03, KA6_UW10, KA6_UW11, KA6_UK01, KA6_UK02, KA6_KK02.Posługuje się

pojęciem formy kwadratowej; sprowadza formy kwadratowe do postaci kanonicznej metodą Lagrange’a; stosuje kryterium Sylvestera do

badania określoności rzeczywistych form kwadratowych. - KA6_WG01, KA6_WG02, KA6_WG03, KA6_WG04, KA6_UW03, KA6_UW10,

KA6_UW11, KA6_UK01, KA6_UK02, KA6_KK02.Posługuje się pojęciem funkcjonału dwuliniowego; znajduje macierze funkcjonałów

dwuliniowych w różnych bazach; wyznacza bazy prostopadłe przestrzeni euklidesowych wykorzystując ortogonalizację Schmidta. -

KA6_WGO1, KA6_WG02, KA6_WG03, KA6_WG04, KA6_UW03, KA6_UW10, KA6_UW11, KA6_UK01, KA6_UK02,

KA6_KK02.Uzyskuje podstawy metodologiczne uprawiania i uczenia się matematyki. - KA6_WG03, KA6_WG04, KA6_UW10,

KA6_UU01, KA6_UU02, KA6_KK01.Rozumie, że nowoczesne technologie są efektem odkryć naukowych m.in. w algebrze liniowej. -

KA6_WK03, KA6_KR01.

egzamin pisemny

1. Przestrzeń przekształceń liniowych (określenie przestrzeni przekształceń liniowych; baza przestrzeni przekształceń liniowych; macierz

przekształcenia liniowego).

2. Przekształcenia liniowe a macierze (izomorfizm przestrzeni L(V ;W) i Mm×n(K); macierz przejścia; zmiana baz).

3. Algebry (określenie algebry; przykłady algebr; algebra wielomianów; wartość wielomianu w punkcie algebry, wielomiany wielu

zmiennych).

4. Wektory i wartości własne (wielomian charakterystyczny; wektory i wartości własne endomorfizmu liniowego) .

5. Twierdzenie Cayleya-Hamiltona (podprzestrzenie niezmiennicze; potęgowanie macierzy; twierdzenie Cayleya-Hamiltona).

6. Macierze blokowe i klatki Jordana; podprzestrzenie niezmiennicze; własności macierzy blokowych.

7. Twierdzenie Jordana (konsekwencje twierdzenia Jordana; podprzestrzenie cykliczne; algorytm znajdowania bazy Jordana dla

endomorfizmu).

8. Przestrzeń sprzężona (określenie i podstawowe własności przestrzeni sprzężonej; zanurzenie kanoniczne przestrzeni V w przestrzeń

V*; przekształcenie sprzężone).

9. Funkcjonały dwuliniowe (izomorfizmy kanoniczne; przypadek przestrzeni skończenie wymiarowych; zmiana bazy a funkcjonały

dwuliniowe).

10. Formy kwadratowe (formy kwadratowe rzeczywiste;

klasyfikacja rzeczywistych form kwadratowych; formy określone).

11. Przestrzenie euklidesowe i ortogonalne (funkcjonały dwuliniowe symetryczne; określenie przestrzeni euklidesowych i ortogonalnych;

podprzestrzenie prostopadłe; iloczyny skalarne a formy kwadratowe; suma prostopadła podprzestrzeni; układy wektorów parami

prostopadłych).

12. Bazy prostopadłe (przestrzenie nad ciałami charakterystyki różnej od 2;

przestrzenie nad ciałami charakterystyki 2; ortogonalizacja Schmidta

wykład prowadzony w czasie rzeczywistym w systemie stacjonarnym lub zdalnym, konsultacje

prowadzone w czasie rzeczywistym w systemie stacjonarnym lub zdalnym, praca nad literaturą, rozwiązywanie zadań domowych